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Statistische Frage zu Fudge Würfeln

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Buddz:
Was ist die Wahrscheinlichkeit mit 3 Fudge Würfeln mindestens zwei Plusse zu würfeln? Dabei ist es mir egal wie das Endergebnis ist. Und wie kommt man auf die Wahrscheinlichkeit?

Mein bisheriger Gedankengang:

* Ein einziges Plus zu würfeln hat eine Wahrscheinlichkeit von 100%. Dies resultiert aus den addierten Wahrscheinlichkeiten jedes Fudge-Würfels ein Plus zu würfeln (~33%).
* Das mit dem relativ simplen aufaddieren geht aber wahrscheinlich ja nur für diesen Fall (reines Bauchgefühl). Die Wahrscheinlichkeit für je zwei oder drei Plusse liegt sicherlich nicht bei 66% und 33%, oder?
* Ich würde vermuten, dass man für den Fall von zwei Plussen zunächst erstmal auch nur zwei Würfel betrachtet. Die Wahrscheinlichkeit mit zwei Fudge-Würfeln zwei Plusse zu würfeln liegt bei 1/9 oder knapp über 11%. Jetzt hat man drei Würfel, also gäbe es drei verschiedene Kombinationen an zwei Würfeln welche zwei Plusse liefern. Also einfach aufaddieren und man landet doch wieder bei 33%?
* Ist das also doch richtig, oder muss ich noch was anderes beachten?

Pyromancer:

--- Zitat von: Buddz am  1.12.2017 | 15:10 ---Mein bisheriger Gedankengang:

* Ein einziges Plus zu würfeln hat eine Wahrscheinlichkeit von 100%. Dies resultiert aus den addierten Wahrscheinlichkeiten jedes Fudge-Würfels ein Plus zu würfeln (~33%).
--- Ende Zitat ---

Dass das nicht stimmen kann siehst du schon daran, dass es möglich ist, NICHT ein einziges Plus zu würfeln. Das ist mir zumindest schonmal passiert. ;)

Richtiger geht es so:
Die Wahrscheinlichkeit auf einem einzelnen Würfel ein Plus zu würfeln ist 1/3, dafür ein Nicht-Plus zu würfeln 2/3. Bei mehreren Würfeln musst du multiplizieren, und dann alle Möglichkeiten addieren.

Für mindestens zwei Plusse gibt es folgende Möglichkeiten (P=Plus, N=Nicht-Plus):
PPN (Wahrscheinlichkeit 1/3 * 1/3 * 2/3 = 2/27)
PNP (Wahrscheinlichkeit 2/27)
NPP (Wahrscheinlichkeit 2/27)
PPP (Wkeit 1/27)

Alles zusammenzählen ergibt 7/27, also ungefähr 26%.

Buddz:
Also wäre die Wahrscheinlichkeit ein einziges Plus zu würfeln 19/27? Also die 7/27 plus die Fälle PNN, NPN, NNP mit jeweils (1/3 * 2/3 * 2/3 = 4/27)?

Und das würde wahrscheinlich auch für andere spezifische Kombinationen gelten (also die Anforderung ein Plus, ein Minus und eine leere Seite zu würfeln ist die selbe Wahrscheinlichkeit wie 3 Plusse), oder?

Pyromancer:
Die Wahrscheinlichkeit, MINDESTENS ein Plus zu würfeln, ja.

Probe: Die Wahrscheinlichkeit, gar kein Plus zu würfeln (NNN) ist 2/3 * 2/3 * 2/3 = 8/27.

Die Wahrscheinlichkeit, entweder gar kein Plus zu würfeln ODER mindestens ein Plus zu würfeln sollte 100% ergeben. Und 8/27 + 19/27 sind tatsächlich 27/27!

Scimi:

--- Zitat von: Buddz am  1.12.2017 | 15:29 ---Und das würde wahrscheinlich auch für andere spezifische Kombinationen gelten (also die Anforderung ein Plus, ein Minus und eine leere Seite zu würfeln ist die selbe Wahrscheinlichkeit wie 3 Plusse), oder?

--- Ende Zitat ---

Nein.  ;)

Um das ohne Mathematik und "zu Fuß" zu machen, müssen wir alle möglichen Fälle unterscheiden. Und zwar für jeden Würfel einzeln. Bei 3dF ist das relativ übersichtlich:

 1: -/-/-
 2: -/-/0
 3: -/-/+
 4: -/0/-
 5: -/0/0
 6: -/0/+
 7: -/+/-
 8: -/+/0
 9: -/+/+
10: 0/-/-
11: 0/-/0
12: 0/-/+
13: 0/0/-
14: 0/0/0
15: 0/0/+
16: 0/+/-
17: 0/+/0
18: 0/+/+
19: +/-/-
20: +/-/0
21: +/-/+
22: +/0/-
23: +/0/0
24: +/0/+
25: +/+/-
26: +/+/0
27: +/+/+

Dabei sieht man, dass das Ergebnis "+/+/+" nur genau einmal im Fall #27 vorkommt, während es 6 Fälle (#6, #8, #12, #16, #20 und #22) gibt, die alle drei Würfelergebnisse enthalten.

"Ein Plus, ein Minus und eine leere Seite" kommt also im Schnitt 6mal häufiger vor als "nur Plusse".  ;)


Zum Rechnen kannst du es dir so vorstellen, dass du die Würfel nacheinander betrachtest:

Fall "+/+/+":
Der erste Würfel muss ein "+" zeigen, sonst klappt es schon nicht mehr. D.h. der erste Würfel hat eine Chance von 1/3, dass das Endergebnis "+/+/+" wird.

Der zweite Würfel muss für das Endergebnis ebenfalls ein "+" zeigen und hat damit auch eine Chance von 1/3, dass das Endergebnis hinkommt. Aber damit das interessant ist, muss der erste Würfel schon richtig liegen. D.h. Nur in 1/3 der Fälle zeigt der 1. Würfel ein "+" und nur in 1/3 genau dieser Fälle zeigt auch der 2. Würfel ein "+". Das heißt nur in 1/3 * 1/3 = 1/9 der Fälle liegen der 1. und der 2. Würfel richtig.

Der 3. Würfel hat dieselbe 1/3-Chance, ein "+" zu zeigen. Aber dieses 1/3 ist wiederum nur von Belang, wenn schon der 1. und der 2. Würfel stimmen. Also für die 1/9-Chance, dass der dritte Würfel überhaupt betrachtet wird, bringt der noch einmal seine 1/3-Chance, für insgesamt 1/9 * 1/3 = 1/27.

Also 1 von 27 Ergebnissen, so wie wir es vorher mit der Tabelle ausgezählt haben.  :d

Fall "jedes Ergebnis einmal":
Für dieses Ergebnis ist egal, was der 1. Würfel zeigt. Ob "+", "0" oder "-", die anderen beiden Würfel können immer noch die anderen beiden Ergebnisse zeigen. Daher hat der erste Würfel eine 3/3-Chance, dass wir an der Stelle weitermachen und uns den 2. Würfel ansehen.

Der 2. Würfel "stimmt", wenn er ein anderes Ergebnis zeigt als der 1. Würfel. Von den 3 möglichen Ergebnissen "+", "0" und "-" hat der 1. Würfel eins gestrichen, das heißt, es bleiben noch 2 von 3 übrig. Damit hat der 2. Würfel eine 2/3-Chance, dass das Endergebnis alle drei Würfelergebnisse enthält. Weil der 1. Würfel 100%ig stimmt, ist die Gesamtchance beim 2. Würfel 3/3 * 2/3 = 6/9 (und natürlich gekürzt immer noch 2/3).

Der 3. Würfel muss jetzt das übrige Würfelergebnis zeigen. Dafür hat er eine Chance von 1/3. Die kommt aber überhaupt nur für die 6/9-Chance zustande, dass die ersten beiden Würfel schon ihren Job gemacht haben. Insgesamt hat "jedes Ergebnis einmal" damit eine Chance von 6/9 * 1/3 = 6/27.

Auch hier die 6 von 27 Fällen, die wir vorher in der Tabelle gefunden haben.  :d

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