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Rechenproblem für Würfelarithmetiker

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Morgh:
Hallo,

ich bastel gerade an einem System und wollte mal eine Wahrscheinlichkeitsmatrix dafür austellen, wozu ich aber scheinbar zumindest teilweise zu unfähig bin.
Eine kleine Kopfnuss für alle Powergamer, Systemversteher -bastler und Mathegenies.

Grundsituation:

-Man würfelt mit 2 W10.

-Der erste Würfel zeigt an ob die Aktion prinzipiell erfolgreich war => Erfolgswürfel (EW)
Hierbei muss eine situationsbedingte Schwelle überwürfelt werden.

-Der zweite Würfel zeigt wie erfolgreich die Aktion war => Erfolgsumfangswürfel (EUW - bessere Benennung willkommen)
Ein möglichst hoher Wert ist hierbei wünschenswert.

-Es kann NACHDEM gewürfelt wurde festgelegt werden welcher der Erfolgswürfel und welcher der Erfolgsumfangswürfel ist.

Primitives Beispiel 1:
Grog will Drag eins überziehen.
Er muss dazu mindestens eine 4 Würfeln und verursacht Schaden in Höhe der Zahl seines EUW.

Grog würfelt eine 5 und eine 8. Er nimmt die 5 als EW (5 > 4) und die 8 als EUW (verursacht also 8 Schaden).

Primitives Beispiel 2:
Drag steht noch und will jetzt Grog eins überziehen.
Er muss dazu mindestens eine 5 Würfeln und verursacht Schaden in Höhe der Zahl seines EUW.

Drag würfelt eine 10 und eine 3. Er nimmt die 10 als EW (10 > 5) und die 1 als EUW (verursacht also 3 jämerlichen Schaden).
Hätte die 10 für den Schadenswurf verwenden können, wäre der Schaden wesentlich höher ausgefallen, dummerweise war dazu die Schwierigkeit zu hoch (da 3 < 5).

Soweit mitgekommen? Prima, dann weiter.

Erfolgstabelle

Die generelle Erfolgstabelle ist einfach zu berechnen. Sie sagt nur aus wie wahrscheinlich es ist mit 2W10 mit mindestens einem Würfel die Schwelle zu überbieten.
Dafür habe ich einfach die Grundwahrscheinlichkeit mit einem Würfel genommen und die Restwahrscheinlichkeit nochmal durch die selbe Wahrscheinlichkeit geteilt und addiert.

Die Formel wäre also:

wahrscheinlichkeit = w1+(100-w1)/100*w2

Beispiel:

Wahrscheinlichkeit mit 2W10 mindestens eine 3 zu würfeln:

Beide Würfel haben eine Wahrscheinlichkeit von 80% mindestens eine 3 zu würfeln. Also:
w1 = 80
w2 = 80

Eingesetzt macht das:
wahrscheinlichkeit = w1+(100-w1)/100*w2
wahrscheinlichkeit = 80+(100-80)/100*80
wahrscheinlichkeit = 96 %

Tabelle mit den Ergebnissen

SchwelleErfolgswahrscheinlichkeit1100%299%396%491%584%675%764%851%936%1019%
Erfolgsumfangstabelle

Jetzt wird es interessant (zumindest für die, die noch nicht eingeschlafen sind). Interessieren würde mich wie wahrscheinlich es ist bei einer bestimmten Schwelle zumindest einen bestimmten Erfolgsumfang zu erreichen. Ich bin mir sicher es gibt eine Glockenkurve aber ich kann sie nicht errechnen.
Also links in der Spalte die zu würfelnde Schwelle in den Spalten rechts die jeweilige Wahscheinlichkeit mindestents die oben stehende Zahl im EUW zu erreichen.
Den einfachen Teil habe ich schonmal eingetragen.

Schwelle123456789101100%99%96%91%84%75%64%51%36%19%299%?????????396%?????????491%?????????584%?????????675%?????????764%?????????851%?????????936%?????????1019%?????????
Also wer mir hier weiterhelfen kann, wird in meinen Memoiren erwähnt.

CYA,
Morgh

Iceman:
Hallo Morgh!

Ich bin zwar kein Experte, was Stochastik angeht, aber trotzdem mein Senf dazu:

Du machst zwei unabhängige Zufallsexperimente. Das erste ist der Wurf mit zwei W10 um die Schwelle zu (über-)treffen. Die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Schwellenwerte hast Du ja schon ausgerechnet.

Diese Wahrscheinlichkeit sagt nur etwas darüber aus, ob ein bestimmter Wert von IRGENDEINEM der beiden Würfel erreicht wird. Das Ergebnis des anderen Würfels hat im Grunde nichts damit zu tun. Deshalb kannst Du den EUW als gesondertes Zufallsexperiment betrachten.

Weil es sich um einen einzelnen Würfel handelt, sind die Ergebnisse diskret linear verteilt. In diesem Fall also 10% Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis.

Ich hoffe das passt soweit,
Iceman

Hr. Rabe:

--- Zitat ---Diese Wahrscheinlichkeit sagt nur etwas darüber aus, ob ein bestimmter Wert von IRGENDEINEM der beiden Würfel erreicht wird. Das Ergebnis des anderen Würfels hat im Grunde nichts damit zu tun. Deshalb kannst Du den EUW als gesondertes Zufallsexperiment betrachten.

--- Ende Zitat ---

Nein, so einfach ist das nicht, denn da die Würfel 'verbraucht werden', sind beide Zufallssysteme doch wieder mit einander verbunden.

@Morgh
Eine Frage habe ich allerdings noch:
Du sagst im Falle des EW zwar, daß du einen Wert unterwürfeln willst, sprichst in den Beispielen allerdings von überwürfeln. Was soll denn jetzt gelten?
1 [W]ürfel < [V]orgabe
2 w <= v
3 w >= v
4 w > v
???

Gruß,
raVen

Morgh:
Danke erstmal dass ihr euch mit meiner Hirnwichse beschäftigt.  ;D

@Iceman: Die beiden Würfe kann ich deshalb nicht unabhängig von einander betrachten da:


--- Zitat ----Es kann NACHDEM gewürfelt wurde festgelegt werden welcher der Erfolgswürfel und welcher der Erfolgsumfangswürfel ist.
--- Ende Zitat ---

@TheRavenNevermore: Du hast recht, ich bin den Beitrag nochmal durchgegangen.

Man muss die Schwelle überwürfeln. Sorry, bin da mit vorherigen Überlegungen durcheinandergekommen.

Danke für den Hinweis.

Hr. Rabe:
Ok, unter der Annahme, daß folgendes gilt:

W -> Würfel
V -> Vorgabe

EW: W >= V

Haben wir folgende Bedingungen für den EUW:

1. if (W1 >= V&&W2 >= V) EUW=W1>W2?W1:W2;
(falls beide Würfel über der Vorgabe liegen, wird der höhere als EUW gewertet)

2. else if (W1 >= V) EUW=W2;
(ansonsten wird W2 als EUW gewertet, wenn W1 die Vorgabe erfüllt)

3. else if (w2 >= V) EUW=W1;
(ansonsten wird W1 als EUW gewertet, wenn W2 die Vorgabe erfüllt)

4. else EUW=-1;
(ansonsten weisen wir EUW einen negativen Wert zu, was bedeutet, daß die Probe nicht geschafft ist.)

Edit: Programmauswertung rausgenommen, weil fehlerhaft...  ::)

Gruß,
raVen

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