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Noch mehr obskure Würfeleien
alexandro:
Ausgehend von Svens Frage neulich habe ich auch eine Frage an die Wahrscheinlichkeitsexperten:
Es geht um die ORE (Godlike, Weapons of the Gods, Wild Talents).
Im GRW gibt es ja so eine schicke Tabelle mit der Belle Curve (der Wahrscheinlichkeit mit einer bestimmten Zahl W10 ein Päarchen oder besser zu würfeln) ( http://arcdream.com/godlike/quickplayrules.pdf )
1- n/a
2- 10%
3- 28%
etc.
Mich interessieren die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für Drillinge, Vierlinge etc.
Ich hoffe ihr könnt einem Mathephoben SL weiterhelfen.
CU
Alex
Huckleberry:
Wenn ich das richtig verstehe, geht es jeweils darum, irgendeinen Drilling (oder besser), Vierling (oder beser) etc zu würfeln, oder?
Also, ich probiers mal (ohne Gewähr):
Für Drillinge (oder besser) mit n Würfel:
10*1*1*10(n-3)*(n3)
---------------------------
10n
Für 1& 2: 0%
Für 3: 1%
Für 4: 4%
Für 5: 10%
...
Für Vierlinge (oder besser) mit n Würfel:
10*1*1*1*10(n-4)*(n4)
---------------------------
10n
Für 1,2,3: 0%
Für 4: 0,1%
Für 5: 0,5%
etc.
Und jetzt bin ich gespannt: stimmt das?
(lang ists her :korvin:)
Eulenspiegel:
Das kann man induktiv lösen:
P(n) ist die Wahrscheinlichkeit, mit n Würfeln ein Pärchen zu würfeln.
Dann gilt ja:
Wenn ich n+1 Würfel habe, dann habe ich entweder mit den ersten n Würeln ein Pärchen oder mit den 2. Würfel kann ich n mögliche Zahlen würfeln, die zum Ergebnis führen.
Wir haben also:
P(1)=0
P(n+1) = P(n)+(1-P(n))* (n-1)/10
Wir erhalten also:
P(1) = 0%
P(2) = 0+1*1/10 = 10%
P(3) = 0,1+0,9*0,2 =28%
P(4) = 0,28+ 0,72*0,3 = 49,6%
P(5) = 0,496 +0,504*0,4 = 69,76%
P(6) = 0,6976 +0,3024*0,5 = 84,88%
P(7) = 0,8488 +0,1512*0,6 = 93,952 %
P(8) = 0,9352+0,06048*0,7 = 97,7536 %
P(9) = 0,977536 + 0,022464*0,8 = 99,55072 %
P(10) = 0,9955072 + 0,0044928*0,9 = 99,955072 %
P(11) = 100%
Eine andere Möglichkeit wäre auszurechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, KEIN Pärchen zu würfeln und dann die Gegenwahrscheinlichkeit nehmen:
Bei keinem Pärchen, darf der 1. Würfel eine beliebige Zahl zeigen. Der 2. Würfel hat nur noch 9 Möglichkeiten, der 3. Würfel nur noch 8 etc.
Wir erhalten also bei n Würfeln: 10! / (10-n)! Möglichkeiten, kein Pärchen zu würfeln.
Insgesamt gibt es 10^n Möglichkeiten.
Wir erhalten also für die Wahrscheinlichkeit, KEIN Pärchen zu würfeln:
10! / (10-n)! /10^n = 9! /[ (10-n)! *10^(n-1)]
Die Wahrscheinlichkeit, ein Pärchen zu würfeln ist dann also:
P(n) = 1- 9! /[ (10-n)! *10^(n-1)]
Das wären also:
P(1) = 1-1 = 0%
P(2) = 1-0,9 = 10%
P(3) = 1- 0,81 = 28%
P(4) = 1- 0,504 = 49,6%
P(5) = 1- 0,3024 =69,76%
...
P(11) = 100%
Ab 11 Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für ein Pärchen immer 100%.
alexandro:
@Huckleberry: Wofür steht denn
--- Zitat ---10*1*1*10(n-3)*(n3)
--- Ende Zitat ---
in deiner Formel???
Kenne diese Schreibweise irgendwie nicht (Edit: oben gucken, da das irgendwie bei mir anders aussieht)
Huckleberry:
Das (n3) heißt "3 aus n" (allgemein (nk) "k aus n", wobei n und k eigentlich in einer ordentlichen Spalte stehen sollten, das krieg ich hier nur nicht hin) und gibt die Zahl der Möglichkeiten an, Mengen von 3 (bzw. k) Elementen aus einer n-elementigen Menge zu ziehen.
Angenommen, Du hast 5 Würfel; dann ist es ja für das vorliegende Problem irrelevant, ob Du den Drilling mit Würfel 1,2,3 oder mit Würfel 1,4,5 würfelst. Deshalb muß man sich überlegen, wieviele Möglichkeiten es gibt, 3 Würfel aus 5 auszuwählen. Und das sagt diese Formel.
Berechnet wird das durch
n!
----
k! * (n-k)!
also für 5:
5*4*3*2*1 5*4
----------- = ------ = 10.
3*2*1 * 2*1 2*1
Die ganze Formel kam übrigens durch folgende Überlegungen zustande:
Welche Zahl der Drilling zeigt, ist irrelevant. Der "erste" Wüfel hat also 10 verschiedene Möglichkeiten.
Die beiden anderen Würfel, die dann den Drilling bilden, müssen aber jeweils die Zahl zeigen, die auch der "erste" Würfel zeigt. Deshalb haben die jeweils nur 1 Möglichkeit zur Auswahl.
Für die drei Drillingswürfel gibt es also 10*1*1 Möglichkeiten.
Die restlichen Würfel können wieder zeigen, was sie zeigen wollen (da ja auch 4 gleiche als Drilling zählen hier, oder?): wir multiplizieren weiter mit 10, und zwar so oft, wie viele weitere Würfel da sind. Allgemein: 10(n-3).
Bei 5 Würfeln also :10(5-3)=102=100.
Nun muß man sich nur noch überlegen, daß es ja nicht nur drei bestimmte Würfel sein können, die den Drilling bilden, sondern einfach irgendwelche der zur Verfügung stehenden. Also (n3), in diesem Fall 10.
Das: 10*1*1*10(n-3)* (n3)
also: 10*1*1*100*10 = 10.000 für 5 Würfel
ist die Zahl der Möglichkeiten, mit n Würfeln einen Drilling zu würfeln. Die muß jetzt noch geteilt werden durch die Zahl der möglichen Möglichkeiten. Möglich sind für jeden einzelne Würfel 10, für n Würfel also 10n, macht bei 5: 10*10*10*10*10=100.000
Die Wahscheinlichkeit für irgendeinen Drilling mit irgendwelchen drei von 5 Würfeln ist also 10.000/100.000=10%.
Denke ich.
(Kann das jemand verifizieren?)
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